题目

已知圆M：x2+y2-2y-4=0与圆N：x2+y2-4x+2y=0. （1） 求证：两圆相交； （2） 求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长； （3） 在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1. 答案： 证明：由已知得圆M：x2+(y-1)2=5，圆N：(x-2)2+(y+1)2=5， 圆心距 |MN|=(2−0)2+(−1−1)2=22 ， ∴ 0=|r1−r2|<|MN|<r1+r2=25 ， ∴两圆相交. 解：联立两圆的方程得方程组 {x2+y2−2y−4=0x2+y2−4x+2y=0 两式相减得x-y-1=0，此为两圆公共弦所在直线的方程. 法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 {x2+y2−2y−4=0x2+y2−4x+2y=0 解得 {x=1+62y=62 或 {x=1−62y=−62 所以 |AB|=[(1+62)−(1−62)]2+[62−(−62)]2=23 ，即公共弦长为 23 . 法二： x2+y2−2y−4=0 ，得x2+(y-1)2=5，其圆心坐标为(0，1)，半径长r= 5 ，圆心到直线x-y-1=0的距离为 d=|0−1−1|1+(−1)2=2 设公共弦长为2l，由勾股定理得 r2=d2+l2 ，即 5=(2)2+l2 ，解得 l=3 ，故公共弦长 2l=23 . 解：∵两圆半径均为 5 ，过P点所引的两条切线长均为1， ∴点P到两圆心的距离 |PM|=|PN|=5+1=6 ， 设P点坐标为(x，y)，则 {x2+(y−1)2=6(x−2)2+[y−(−1)]2=6 解得 {x=1+2y=2 或 {x=1−2y=−2 .点P坐标为 (1+2，2) 或 (1−2，−2) .

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