题目

请阅读下列材料： 问题：已知方程x²+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。 解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x= 。 把x= 代入已知方程，得（ ）2+ -1=0 化简，得y2+2y-4=0 故所求方程为y2+2y-4=0。 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）。 （1） 已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：。 （2） 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3） 已知关于x的方程x2-mx+n=0有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方。 答案： 【1】y2-y-1=0 解：设所求方程的根为y，则y= 1x (x≠0)于，是x= 1y  (y≠0) 把x= 1y 代入方程ax2+bx+c=0，得a( 1y )2+b· 1y +c=0 去分母，得a+by+cy2=0 若c=0，有ax²+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意， ∴c≠0， 故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0) 解：设所求方程的根为y，则y=x2， 所以x=± y ①当x= y 时， 把x= y 代入已知方程，得 ( y )2-m y +n=0， 即y-m y +n=0；    ②当x=- y 时， 把x=- y 代入已知方程，得 (- y )2 -m(- y ) +n=0， 即y+m y +n=0。 所以，所求方程为y-m y +n=0或y+m y +n=0

查看本题答案和解析