题目

如图，抛物线L：y=﹣ （x﹣t）（x﹣t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y= （k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP=12． （1） 求k的值； （2） 当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离； （3） 把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标． 答案： 解：设P（x，y）则MP=y，∵M为OA的中点，∴OA=2x，∵OA•MP=12，∴2xy=12，∴xy=6，∴k=6 解：当t=1，y=0时，0=﹣ 12 （x﹣1）（x﹣1+4），解得x=1或x=﹣3，∴A（1，0）、B（﹣3，0），∴AB=4；∴抛物线L的对称轴为直线x= 1+(−3)2 =﹣1，∵OA=1，∴MP为直线x= 12 ，∴直线MP与L对称轴之间的距离为 32 解：在y=﹣ 12 （x﹣t）（x﹣t+4）中，令y=0可得﹣ 12 （x﹣t）（x﹣t+4）=0，解得x=t或x=t﹣4，∴A（t，0），B（t﹣4，0），∴抛物线L的对称轴为直线x= t+t−42 =t﹣2，又∵MP为直线x= t2 ，∴当抛物线L的顶点在直线MP上或左侧时，即t﹣2≤ t2 时，解得t≤4，此时，顶点（t﹣2，2）为图象G最高点的坐标；当抛物线L的顶点在直线MP右侧时，即t﹣2＞ t2 时，解得t＞4，此时时，交点直线MP与抛物线L的交点为（ t2 ，﹣ 18 t2+t），为图象G最高点的坐标

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