题目

.如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点． （1）求证：EF∥平面PAB； （2）若PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P-AE-B的余弦值． 答案：【详解】（1）矩形ABCD中，AB∥CD， ∵AB⊄面PCD，CD⊂平面PCD， ∴AB∥平面PCD， 又AB⊂平面ABE， 平面PCD∩平面ABE=EF， ∴AB∥EF， ∵EF⊄面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB． （2）取AD中点O，连结OP， ∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD， ∴PO⊥底面ABCD，连接OB，则OB为PB在平面ABCD内的射影， ∴∠PBO为PB与平面ABCD所成角，根据题意知sin∠PBO=， ∴tan∠PBO=，由题OB=，∴PO=2 取BC中点G，连接OG，以O为坐标原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系， B（1，4，0），设P（0，0，2），C=（-1，4，0），E（-，2，1） ， 设平面PAE的法向量为， 于是， 令x=2，则y=1，z=1 ∴平面PAE的一个法向量=（2，1，1）， 同理平面ABE的一个法向量为=（2，0，3）， ∴cos=  可知二面角P-AE-B为钝二面角 所以二面角P-AE-B的余弦值为-．

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