题目

如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）． （1） 当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小； （2） 当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值； （3） 若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2020时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数． 答案： 解：由已知可得A（0，﹣m），B（0，m）， ∵y＝x2+mx的顶点为C， ∴C（﹣ m2 ，﹣ m24 ）， ∵y＝x2+mx与x轴交点为（0，0），（﹣m，0）， ∴D（﹣m，0）； ∵AB＝12， ∴m＝6， ∴D（﹣6，0），B（0，6）， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣ m2 ， ∴D与O关于x＝﹣ m2 ， 连接BD与对称轴的交点即为P； ∵DP＝OP， ∴△BOP的周长＝BO+BP+PO＝BO+BP+PD＝BO+BD； ∵BD＝6 2 ，OB＝6， ∴△BOP的周长的最小值为6+6 2 解：∵点C在直线l上方， ∴点C到直线l距离为﹣ m24 ﹣（﹣m）＝﹣ m24 +m＝﹣ 14 （m﹣2）2+1， 当m＝2时，点C到直线l距离最大，最大值为1 解：当n＝1时，y＝x+1与y＝x2+x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有4个， 当n＝2时，y＝x+2与y＝x2+2x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有6个， 当n＝3时，y＝x+3与y＝x2+3x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有8个， 当n＝4时，y＝x+4与y＝x2+4x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有10个， …… 当n＝2020时，y＝x+2020与y＝x2+2020x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有4042个．

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