题目

已知函数 （ 为非零常数） （1） 若 ，且方程 在区间 上有两个不等实根，求实数 的取值范围； （2） 解关于 的不等式： . 答案： 解：由题意，函数 f(x)=ax2+(a−1)x+1−74a ， 因为 a>0 时，方程 f(x)=0 在区间 [0，2] 上有两个不等实根， 可得 {a>0Δ=(a−1)2−4a(1−74a)>0f(0)≥0f(2)≥00<−a−12a<2 ，即 {a>08a2−6a+1>01−74a≥0174a−1≥0−4a<a−1<0 ， 解得 417≤a<14 或 12<a≤47 ，即实数 a 的取值范围 [417，14)∪(12，47] . 解：由不等式 f(x)>2a−74a+3 等价于 ax2+(a−1)x−2a−2>0 ， 则可化为 (ax−2)(x+a+1a)>0 ，且 a≠0 ， ①当 a>0 时，原方程可化为 (ax−2)(x+a+1a)>0 ，解得 x>2a 或 x<−a+1a ， ②当 a=−3 时，原不等式化为 (−3x−2)(x+23)>0 ，解得 x∈ϕ ； ③当 a<−3 时，原不等式化为 (x−2a)(x+a+1a)<0 ，解得 −a+1a<x<2a ； ④当 −3<a<0 时，原不等式化为 (x−2a)(x+a+1a)<0 ，解得 2a<x<−a+1a . 综上可得：①当 a>0 时，不等式的解集为 (−∞，−a+1a)∪(2a，+∞) ； ②当 −3<a<0 时，不等式的解集为 (2a，−a+1a) . ③当 a=−3 时，不等式的解集为 ϕ ； ④当 a<−3 时，不等式的解集为 (−a+1a，2a) .

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