题目

已知函数 . （1） 若 ，求 的取值范围； （2） 证明∶ . 答案： 解： f′(x)=ex+a ， 1°当 a>0 时， f′(x)>0 ，则 f(x) 在 R 上单调递增， 由于 f(−1a−1)=e−1a−1+a(−1a−1+1)=e−1a−1−1<0 ，故 f(x)≥0 不成立， 2°当 a=0 时， f(x)=ex>0 ，成立， 3°当 a<0 时，令 f′(x)=ex+a=0 ，则 x=ln(−a) ， 则 f(x) 在 (−∞,ln(−a)) 单调递减， (ln(−a),+∞) 单调递增， 于是 f(x)≥f(ln(−a))=eln(−a)+a(ln(−a)+1)=aln(−a)≥0 ，即 −1≤a<0 ， 综上所述 a∈[−1,0] . 解：由（1）可知，当 a=−1 时， f(x)=ex−(x+1)≥0 ，即 ex≥x+1 ①， 由于待证目标式中含有 ln(x+1) 的形式， 用 ln(x+1) 代①式的 x 得 x≥ln(x+1) ②， 结合①②可得： ex≥ln(x+1)+1 ， x=0 时取等号， 则 e1k>1+ln(1k+1)=1+ln(k+1)−lnk ， 于是 ∑k=1ne1k>1+ln2−ln1+⋅⋅⋅+1+ln(n+1)−lnn=n+ln(n+1) . 故得证.

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