题目

如图，矩形 中， ， ， 在 边上，且 ，将 沿 折到 的位置，使得平面 平面 . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值. 答案：解：（Ⅰ）连接 BD 交 AE 于点O，依题意得 ABDA=ADDE=2 ，所以 Rt△ABD∼ Rt△DAE ， 所以 ∠DAE=∠ABD ，所以 ∠AOD=90° ，所以 AE⊥BD ， 即 OB⊥AE ， OD′⊥AE ，又 OB∩OD′=O ， OB , D′⊂ 平面 OBD′ . 所以 AE⊥ 平面 OBD′ . 又 BD1⊂ 平面 OBD′ ，所以 AE⊥BD′ . （Ⅱ）因为平面 AD′E⊥ 平面 ABCE ， 由（Ⅰ）知， OD′⊥ 平面 ABCE ， 以 O 为原点，建立空间直角坐标系 O−xyz 如图所示. 在 Rt△AD′E 中，易得 OD′=25 ， OA=45 ， OE=15 ， 所以 A(45,0,0) ， B(0,85,0) ， D′(0,0,25) ， 则 AB→=(−45,85,0) ， BD′→=(0,−85,25) ， 设平面 ABD′ 的法向量 n1→=(x,y,z) ，则 {n1→⋅AB→=0n1→⋅BD′→=0 ，即 {−45x+85y=0−85y+25z=0 ，解得 {x=2yz=4y ， 令 y=1 ，得 n1→=(2,1,4) ， 显然平面 ABE 的一个法向量为 n2→=(0,0,1) . 所以 cos〈n1→,n2→〉=n1→⋅n2→|n1→||n2→| =421×1=42121 ，所以二面角 D′−AB−E 的余弦值为 42121 .

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