题目

如图，P是抛物线E：y2＝4x上的动点，F是抛物线E的焦点． （1） 求|PF|的最小值； （2） 点B，C在y轴上，直线PB，PC与圆（x﹣1）2+y2＝1相切．当|PF|∈[4，6]时，求|BC|的最小值． 答案： 解：P是抛物线E：y2＝4x上的动点，F是抛物线E的焦点（1，0），准线方程为x＝﹣1， 由抛物线的定义可得|PF|＝d＝xP+1， 由 xP≥0 ，可得d的最小值为1，|PF|的最小值为1； 解：设 B(0,m),C(0,n),P(x0,y0),y02=4x0 ， 则PB的方程为y =y0−mx0 x+m，PC的方程为y =y0−nx0 x+n， 由直线PA与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，可得 |y0−m+mx0|x02+(y0−m)2= 1， 整理得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0＝0， 同理可得（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0＝0， 即有m，n为方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0＝0的两根，可得m+n =2y02−x0 ，mn =x02−x0 ， 则|m﹣n| =(m+n)2−4mn=4y02(2−x0)2−4x02−x0=4x02+8x0|2−x0| ， 由|PF|∈[4，6]，可得x0+1∈[4，6]，即x0∈[3，5]， 令t＝|2﹣x0|＝x0﹣2，t∈[1，3]， 即有|m﹣n| =4(2+t)2+8(2+t)t= 2 8t2+6t+1 在[1，3]递减， 可得t＝3即x0＝5时，|BC|＝|m﹣n|取得最小值 2353 ．

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