题目

已知函数在点处的切线方程为.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设是函数的两个零点，求证：. 答案：解：（Ⅰ）由题可知：函数定义域为(0，+∞)f′(x)=ax−12x，又函数在点(2，f(2))处的切线方程为y=−12x+1所以{f(2)=0f′(2)=−12⇒{aln2−1+b−ln2=0a2−1=−12⇒{a=1b=1所以f(x)=lnx−14x2+1−ln2，f′(x)=1x−12xf′(x)=1x−12x=2−x22x，当x∈(0，2)时，f′(x)>0；当x∈(2，+∞)时，f′(x)<0所以函数f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，+∞)（Ⅱ）函数g(x)=f(x)−m有 两个零点，等价于y=f(x)，y=m两个函数有两个交点由（Ⅰ）可知：函数f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，+∞)且函数在点(2，f(2))处的切线方程为y=−12x+1，故f(x)≤−12x+1所以f(x2)=m=−12x2′+1⇒x2′=2−2m由x1<x2，又f(1)=34−ln2，f′(1)=12所以函数在(1，34−ln2)处的切线方程为y=12(x−1)+34−ln2则f(x)≤12(x−1)+34−ln2所以f(x1)=m=12(x1′−1)+34−ln2⇒x1′=2ln2−12+2m所以x2−x1<x2′−x1′<52−4m−2ln2由52−4m−2ln2−32+4m=1−2ln2<0，所以52−4m−2ln2<32−4m故x2−x1<32−4m

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