题目

为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为 ， ，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． （1） 判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ （2） 当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 答案： 解：当 x∈[30,50] 时，设该工厂获利 S ， 则 S=20x−(x2−40x+1600)=−(x−30)2−700 ， 所以当 x∈[30,50] 时， Smax=−700<0 ， 因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损． 解：由题易知，二氧化碳的平均处理成本 P(x)=yx=x+1600x−40,x∈[30,50] ， 当 x∈[30,50] 时， P(x)=x+1600x−40≥2x⋅1600x−40=40 ， 当且仅当 x=1600x ，即 x=40 时等号成立， 故 P(x) 取得最小值为 P(40)=40 ， 所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．

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