题目

如图，粗糙圆弧AB和粗糙半圆弧BC组成的轨道固定在竖直平面内，A、C两端点等高，直径BC竖直，AB弧的半径为2R，BC弧的半径为R。一质量为m的小球从A点正上方与A相距R的P点处由静止开始自由下落，恰好沿过A的切线方向进入轨道并沿轨道运动，小球刚好可以沿轨道到达C点。不计空气阻力，重力加速度为g。 （1） 求小球克服轨道摩擦力做的功。 （2） 让小球从A点正上方处下落，认为小球经过轨道时克服阻力做的功与（1）中相同，求小球撞到AB弧上的位置。 答案： 解：根据题意，设小球刚好到达C点时速度为vC，由牛顿运动定律可得mg=mvC2R小球从释放点到C点运动的过程，设克服轨道摩擦力做功Wf，由动能定理可得mgR−Wf=12mvC2解得Wf=12mgR 解：小球从释放点到C点运动的过程，设到达C点的速度为v0，由动能定理可得mg32R−Wf=12mv02以C为原点，沿水平方向和竖直方向建x、y坐标系，取向右和向上分别为x轴和y轴的正方向，设小球从C点平抛撞到AB弧的过程，水平位移为x、竖直位移为y，由平抛运动规律得x=v0ty=12gt2由几何关系有x2+y2=(2R)2解得x=22(2−1)Ry=2(2−1)R即小球撞到AB弧上的位置的横坐标为x=22(2−1)R纵坐标为y=−2(2−1)R

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