题目

已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，若点 在 上，点 在 上，且 是边长为 的正三角形． （1） 求 的方程； （2） 过点 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的面积． 答案： 解：由题知， |PF|=|PE| ，则 PE⊥ l ． 设准线 l 与x轴交于点D，则 PE//DF ． 又 △PEF 是边长为8的等边三角形， ∠PEF=60∘ ， ∴∠EFD=60∘ ， |DF|=|EF|⋅cos∠EFD=8×12=4 ，即 p=4 ． ∴ 抛物线C的方程为 y2=8x 解：设过点 (1,0) 的直线n的方程为 x=ty+1 ， 联立 {y2=8xx=ty+1 ，得 y2−8ty−8=0 ． 设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，则 y1+y2=8t ， y1y2=−8 ． x1x2=(ty1+1)(ty2+1)=t2y1y2+t(y1+y2)+1=1 ． x1+x2=t(y1+y2)+2=8t2+2 ． 由 FA→⋅FB→=−23 ，得 (x1−2,y1)⋅(x2−2,y2)=(x1−2)(x2−2)+y1y2 =x1x2−2(x1+x2)+4+y1y2=1−2(8t2+2)+4−8=−23 ， 解得 t=±1 ． 不妨取 t=1 ，则直线方程为 x−y−1=0 ． |AB|=1+t2⋅(y1+y2)2−4y1y2=2⋅82+32=83 ． 而F到直线 x−y−1=0 的距离 d=|1×2−1|2=22 ． ∴△FAB 的面积为 12×83×22=26 ．

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