题目

已知在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，在极坐标系(以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴)中，曲线 的方程为 ，曲线 ， 交于 ， 两点，其中定点 . （1） 若 ，求 的值； （2） 若 ， ， 成等比数列，求 的值. 答案： 解：∵曲线 C2 的方程为 ρsin2θ=2pcosθ(p>0) ， ∴ ρ2sin2θ=2pρcosθ ，即 y2=2px(p>0) . ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 y2=2px(p>0) ，又已知 p=2 ， ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 y2=4x . 将曲线 C1 的参数方程 {x=22t,y=−4+22t ( t 为参数)，与 y2=4x 联立， 得 t2−122t+32=0 ，由于 Δ=(−122)2−4×32>0 ， ∴设方程两根为 t1 ， t2 ，则 t1+t2=122 ， t1t2=32 ， ∴ |MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=122 . 解：将曲线 C1 的参数方程 {x=22t,y=−4+22t ( t 为参数)，与 y2=2px(p>0) 联立， 得 t2−22(4+p)t+32=0 ， 由于 Δ=[−22(4+p)]2−4×32=8(p2+8p)>0 ， ∴设方程两根为 t1 ， t2 ，则 t1+t2=22(4+p) ， t1t2=32 ，且 t1>0 ， t2>0 ， 又 |MA| ， |AB| ， |MB| 成等比数列， ∴ |AB|2=|MA|⋅|MB| ，得 |t1−t2|2=|t1|⋅|t2| ，则 (t1+t2)2−4t1t2=t1t2 ，即 (t1+t2)2=5t1t2 . ∴ [22(4+p)]2=5×32 ，得 p2+8p−4=0 ， 解得 p=−4±25 ，又 p>0 ，∴ p=−4+25 ， ∴当 |MA| ， |AB| ， |MB| 成等比数列时， p 得值为 −4+25 .

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