题目

2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”成为了热销品，某合作商家准备推出钥匙扣和毛绒玩具两种“冰墩墩”商品．已知每个钥匙扣的单价比毛绒玩具低40元，销售50个钥匙扣与销售10个毛绒玩具的总价相同． （1） 求钥匙扣、毛绒玩具的单价． （2） 已知单个钥匙扣的成本为6元，单个毛绒玩具的成本是36元．第一阶段商家计划用不超过1260元的成本制作钥匙扣和毛绒玩具共60个进行销售，且钥匙扣的数量不高于毛绒玩具的2倍．则钥匙扣、毛绒玩具各销售多少个可获得最大利润？最大利润是多少？ 答案： 解：设钥匙扣单价为 x 元，毛绒玩具单价为 (40+x) 元， 根据题意得： 50x=10(40+x) ， 解得： x=10 ， 40+x=40+10=50( 元 ) ， ∴钥匙扣单价为 10 元，毛绒玩具单价为 50 元； 解：设钥匙扣销售 m 个，则毛绒玩具销售 (60−m) 个，利润为 w 元， 由题意得： {6m+36(60−m)≤1260m≤2(60−m) ， 解得： 30≤m≤40 ， w=(10−6)m+(50−36)(60−m)=4m+840−14m=−10m+840 ， ∵−10<0 ， ∴w 随 m 的增大而减小， ∴ 当 m=30 时，利润最大， 此时钥匙扣销售30个，毛绒玩具销售 60−30=30 个， w最大=−10×30+840=540 （元）， ∴ 当钥匙扣销售30个，毛绒玩具销售30个时利润最大，最大利润为540元．

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