题目

已知函数 ，（ ，且 ）. （1） 求 的定义域，井判断函数 的奇偶性； （2） 对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：由题意，函数 f(x)=logax+1x−1 ，由 x+1x−1>0 ， 可得 x>1 或 x<−1 ，即定义域为 (−∞,−1)∪(1,+∞) ； 由 f(−x)+f(x)=logax−1x+1+logax+1x−1=loga1=0 ， 即有 f(−x)=−f(x) ，可得 f(x) 为奇函数 解：对于 x∈[2,7] ， f(x)>logam(x−1)(8−x) 恒成立， 可得当 a>1 时， x+1x−1>m(x−1)(8−x) ，由 2≤x≤7 可得 m<(x+1)(8−x) 的最小值， 由 y=(x+1)(8−x)=−(x−72)2+814 ，可得 x=7 时，y取得最小值8，则 0<m<8 ， 当 0<a<1 时， 0<x+1x−1<m(x−1)(8−x) ，由 2≤x≤7 可得 m>(x+1)(8−x) 的最大值， 由 y=(x+1)(8−x)=−(x−72)2+814 ，可得 x=72 时，y取得最大值 814 ，则 m>814 ， 综上可得， a>1 时， 0<m<8 ； 0<a<1 时， m>814 ．

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