题目

已知函数．    （1）求函数的单调区间；    （2）设，求在上的最大值；    （3）试证明：对任意，不等式恒成立． 答案：解：（1）∵ 令得 显然是上方程的解 令，，则 ∴函数在上单调递增 ∴是方程的唯一解 ∵当时，当时 ∴函数在上单调递增，在上单调递减………………５分    （2）由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减 故①当即时在上单调递增 ∴＝ ②当时在上单调递减 ∴＝ ③当，即时 ……………………………………………………10分    （3）由（1）知当时， ∴在上恒有，当且仅当时“＝”成立 ∴对任意的恒有 ∵　　∴ 即对，不等式恒成立．………………………14分

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