题目

P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC的度数为_____． 答案：142° 【解析】 【分析】 在AC的延长线上截取AF=AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，证得△APB≌△APF，则AP为BF的垂直平分线，由∠PBA=8°可得∠CBF=30°=∠CBP，∠BFP=60°=∠BPF，可得BC平分PF，进一步可求出∠APC的度数． 【详解】 在AC的延长线上截取AF＝AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E， 在△APB和△APF中， ， ∴△APB≌△APF（SAS）， ∴AB＝AF，PB＝PF，∠AFP＝∠ABP＝8°， ∴AP垂直平分BF，∠BPE＝∠BAP+∠ABP＝30°°，∠FPE＝∠CAP+∠AFP＝30° ∴∠AEP=∠FEP=90°， ∴∠PBF=∠PFB=60° ∵∠PBC＝30° ∴∠CBF＝30°＝∠PBC，∠BPF＝∠BFP＝∠PBF=60°， ∴三角形BPF是等边三角形，BC平分∠PBF ∴BC垂直平分PF ∴PC=PF ∴∠CPF＝∠CFP＝8° ∴∠DPC＝38° ∴∠APC＝142°； 故答案为：142°． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线，证明△APB≌△APF．

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