题目

如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ， ）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C. （1） 求抛物线的解析式； （2） 是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3） 假若△PAC为直角三角形，直接写出点P坐标。 答案： 解：∵B（4，m）在直线y＝x＋2上， ∴m＝4＋2＝6， ∴B（4，6）， ∵A（ 12 ， 52 ），B（4，6）在抛物线y＝ax2＋bx＋6上， ∴ {14a+12b+6=5216a+4b+6=6  ， 解得 {a=2b=−8  ， ∴抛物线的解析式为y＝2x2−8x＋6 解：设动点P的坐标为（n，n＋2），则C点的坐标为（n，2n2−8n＋6）， ∴PC＝（n＋2）−（2n2−8n＋6）＝−2n2＋9n−4＝−2（n− 94 ）2＋ 498 ， ∵PC＞0， ∴当n＝ 94 时，线段PC最大且为 498 解：∵△PAC为直角三角形， i）若点P为直角顶点，则∠APC＝90°. 由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在； ii）若点A为直角顶点，则∠PAC＝90°. 如图1， 过点A（ 12 ， 52 ）作AN⊥x轴于点N，则ON＝ 12 ，AN＝ 52 ， 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M， 则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形， ∴MN＝AN＝ 52 ， ∴OM＝ON＋MN＝ 12 ＋ 52 ＝3， ∴M（3，0）. 设直线AM的解析式为：y＝kx＋b， 则： {12k＋b＝523k＋b＝0  ， 解得 {k＝−1b＝3  ， ∴直线AM的解析式为：y＝−x＋3  ① 又抛物线的解析式为：y＝2x2−8x＋6 ② 联立①②式，解得：x＝3或x＝ 12 （与点A重合，舍去） ∴C（3，0），即点C、M点重合； 当x＝3时，y＝x＋2＝5， ∴P1（3，5）； iii）若点C为直角顶点，则∠ACP＝90°. ∵y＝2x2−8x＋6＝2（x−2）2−2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2. 如图2，作点A（ 12 ， 52 ））关于对称轴x＝2的对称点C， 则点C在抛物线上，且C（ 72 ， 52 ）， 当x＝ 72 时，y＝x＋2＝ 112 ， ∴P2（ 72 ， 112 ）. ∵点P1（3，5）、P2（ 72 ， 112 ）均在线段AB上， ∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（ 72 ， 112 ）

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