题目

数列 是公比为正数的等比数列， ， ；数列 的前 项和为 ，满足 ， . （1） 求 ， ； （2） 求数列 ， 的通项公式； （3） 求 . 答案： 解：由于数列 {bn} 满足 b2=3 ， Sn=n2(bn+1)(n∈N+) ， 则 S1=12(b1+1) ，解得： b1=1 ， S3=4+b3=32(b3+1) ，解得： b3=5 . 解：由题可知，等比数列 {an} 的公比为正数，即 q>0 ， 且 a1=2 ， a2+a3=12 易知 a2+a3=a1(q+q2)=12 ，解得 q=2 或 q=−3 （舍去）， 则 q=2 ，故 an=a1qn−1=2n ， n∈N+ ； 由于 Sn=n2(bn+1)(n∈N+) ，① 则 Sn−1=n−12(bn−1+1) ， n⩾2 ，② ①-②得： (n−2)bn=(n−1)bn−1−1 ，③ 则有： (n−3)bn−1=(n−2)bn−2−1 ， n⩾3 ，④ 同理③-④得： 2bn−1=bn+bn−2 ， n⩾3 （注 :b1 ， b3 也符合）， 则 {bn} 为等差数列，首项 b1=1 ，公差 d=b2−b1=2 ， 故 bn=2n−1 ， n∈N+ ． 解：由（2）得出 anbn=(2n−1)·2n ， 设 Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn ， 则 Tn=1·2+3·4+5·8+…+(2n−1)·2n ， 2Tn=1·4+3·8+5·16+…+(2n−1)·2n+1 ， 两式相减可得： Tn−2Tn=2+2(4+8+…+2n)−(2n−1)·2n+1 ， 即 −Tn=2+2·4(1−2n−1)1−2−(2n−1)·2n+1 ， 化简可得 Tn=6+(2n−3)·2n+1 ， 即 a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn=6+(2n−3)·2n+1 .

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