题目

如图 （1） 如图1，在等边 中， .点P、D、E分别为边 、 、 上（均不与端点重合）的动点. ①当点P为 的中点时，在图1中，作出 ，使 的周长最小，并直接写出 的周长的最小值； ②如图2，当 时，求 的周长的最小值. （2） 如图3，在等腰 中. ， ， ，点P、Q、R分别为边 、 、 上（均不与端点重合）的动点，求 周长的最小值并简要说明理由. 答案： 解：①作点P关于 AB 的对称点M，关于 AC 的对称点N，连接 MN ，交 AB 于点D， AC 于点E，连接 AP 交 MN 于J，连接 MP ，交 AB 于H，连接 PN ，交 AC 于点G， ∵ △ABC 是等边三角形， BP=PC=3 ， ∴ AP⊥BC ， ∠B=∠C=60° ， ∴ PH=PB⋅sin60°=332 ，同法可得 PG=332 ， 由对称的性质可知， PH=HM=332 ， PG=GN=332 ， ∴ PM=PN=33 ， ∵ ∠B=∠C=60° ， ∴ ∠BPH=∠CPG=30° ， ∴ ∠MPN=120° ， ∠M=∠N=30° ， ∴ ∠M=∠BPM ， ∴ MN//BC ， ∵ PA⊥BC ， ∴ PA⊥MN ， ∴ MJ=JN=PM⋅cos30°=92 ， ∴ MN=2MJ=9 ； ②作点P关于 AB 的对称点M，关于 AC 的对称点N，连接 MN ，交 AB 于点D， AC 于点E，则 △PDE 的周长的最小值即为线段 MN 的长， 如图2，过点M作 MF⊥ 直线 BC 于F，过点N作 NG⊥ 直线 BC 于G，过点M作 MH⊥NG 于H， ∴四边形 MFGH 是矩形， ∴ MF=HG ， FG=MH ， ∵ PB=2 ， ∠BPM=30° ， ∴ PM=2PB⋅cos30°=23 ， MF=12PM=3 ， PF=3MF=3 ， ∵ PC=BC−BP=4 ， ∠CPN=30° ， ∴ PN=2×PC⋅cos30°=43 ， NG=12PN=23 ， PG=3NG=6 ， ∴ NH=23−3=3 ， MH=FG=6+3=9 ， ∴ MN=NH2+MH2=81+3=221 ， ∴ △PDE 的周长的最小值为 221 解：过点P作 AB ， AC 的对称点M，N，连接 MN 交 AB 于Q，交 AC 于R， 则 PQ=MQ ， PR=RN ， ∴ △PQR 周长为 PQ+QR+PR=MQ+QR+EN=MN ， ∴当点P是 BC 的中点时， △PQR 的周长最小， ∵ ∠BAC=30° ， ∴ ∠B=∠C=75° ， ∠MPN=150° ， ∴ ∠M=∠N=15° ， ∴ ∠MQB=∠PQB=∠B=75° ， ∴ MN//BC ， PQ=PB=2 ， 同理 PR=PC=2 ， ∵ AP⊥BC ， ∴ AP⊥MN . ∵ ∠PQR=180°−75°−75°=30° ， ∴ QR=2×32PQ=23 ， ∴ △PQR 周长的最小值是 4+23

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