题目

“英才计划”最早开始于年，由中国科协、教育部共同组织实施，到年已经培养了多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动． （1） 若化学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； （2） 在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于 ， 则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 ， ， 且 ， 如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 答案： 解：由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，P(ξ=0)=C73C123=744，P(ξ=1)=C51C72C123=2144，     P(ξ=2)=C71C52C123=722，P(ξ=3)=C53C123=122所以随机变量ξ的分布列如下表所示：    ξ         0         1         2         3    P    744    2144    722    122所以E(ξ)=0×744+1×2144+2×722+3×122=54； 解：他们在每轮答题中取得胜利的概率为：     Q=C21p1(1−p1)C22p22+C22p12C21p2(1−p2)+C22p12C22p22     =2p1p2(p1+p2)−3(p1p2)2=83p1p2−3(p1p2)2，由0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1+p2=43，得13≤p1≤1，则p1p2=p1(43−p1)=43p1−p12=−(p1−23)2+49，因此p1p2∈[13，49]，令t=p1p2∈[13，49]，Q=83t−3t2=−3(t−49)2+1627，于是当t=49时，Qmax=1627，要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值1627，设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X，则X～B(n，1627)，E(X)=1627n，由E(X)≥6，即1627n≥6，解得n≥10.125，而n∈N*，则nmin=11，所以理论上至少要进行11轮答题．

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