题目

设函数. （1） 若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2） 若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3） 解关于的不等式：. 答案： 解：依题意，f(x)≥−2有实数解，即不等式ax2+(1−a)x+a≥0有实数解，当a=0时，x≥0有实数解，则a=0，当a>0时，取x=0，则ax2+(1−a)x+a=a>0成立，即ax2+(1−a)x+a≥0有实数解，于是得a>0，当a<0时，二次函数y=ax2+(1−a)x+a的图象开口向下，要y≥0有解，当且仅当Δ=(1−a)2−4a2≥0⇔−1≤a≤13，从而得−1≤a<0，综上，a≥−1，所以实数a的取值范围是a≥−1； 解：不等式f(x)≥−2对于实数a∈[−1，1]时恒成立，即∀a∈[−1，1]，(x2−x+1)a+x≥0，显然x2−x+1>0，函数g(a)=(x2−x+1)a+x在a∈[−1，1]上递增，从而得g(−1)≥0，即−x2+2x−1≥0，解得x=1，所以实数x的取值范围是{1}； 解： 不等式f(x)<a−1⇔ax2+(1−a)x−1<0，当a=0时，x<1，当a>0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)<0，而−1a<0，解得−1a<x<1，当a<0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)>0，当−1a=1，即a=−1时，x∈R，x≠1，当−1a<1，即a<−1时，x<−1a或x>1，当−1a>1，即−1<a<0时，x<1或x>−1a，所以，当a=0时，原不等式的解集为(−∞，1)，当a>0时，原不等式的解集为(−1a，1)，当−1≤a<0时，原不等式的解集为(−∞，1)∪(−1a，+∞)，当a<−1时，原不等式的解集为(−∞，−1a)∪(1，+∞).

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