题目

如图，在四棱锥中， ， 为棱的中点，平面. （1） 证明：平面 （2） 求证：平面平面 （3） 若二面角的大小为 ， 求直线与平面所成角的正切值. 答案： ∵BC//AE且BC=AE，∴四边形BCEA为平行四边形，∴AB//EC，又因为AB⊄平面PCE，EC⊂平面PCE，所以AB//平面PCE.  ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，连接BE，∵BC//DE且BC=DE，∴四边形BCDE为平行四边形，∵DE⊥CD，BC=CD=2，∴平行四边形BCDE为正方形，∴BD⊥EC，又因为AB//EC，∴BD⊥AB，又因为PA∩AB=A，PA,AB⊂面PAB，∴BD⊥面PAB，∵BD⊂面PBD，∴平面PAB⊥平面PBD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD,∴∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，从而∠PDA=45°，所以PA=AD=4，作AM⊥PB于M，连接MD，∵平面PAB⊥平面PBD，AM⊂平面PAB，平面PAB∩平面PBD=PB，∴AM⊥面PBD，所以∠ADM为直线AD与平面PBD所成角，在直角△PAB中，AB=CE=22，PA=4，PB=26，∴AM=PA⋅ABPB=4×2226=433，因为AM⊥面PBD，DM⊂面PBD，所以AM⊥DM，在直角三角形△AMD中，AD=4,AM=433，由勾股定理可知DM=AD2−AM2=463，∴tan∠ADM=22，则直线AD与平面PBD所成角的正切值为22. 

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