题目

            （1） 知识储备 ①如图 1，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC= PA． ②定义：在△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为△ABC的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离． （2） 知识迁移 ①我们有如下探寻△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法： 如图 2，在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段▲ 的长度即为△ABC 的费马距离. ②在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点 P(要求尺规作图). （3） 知识应用 ①判断题（正确的打√，错误的打×）： ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（   ）； ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（   ）. ②已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为 ，求正方形 ABCD 的 边长． 答案： 证明：在PA上取一点E，使PE=PC，连接CE， ∵正三角形ABC ∴∠APC=∠ABC=60° 又∵PE=PC，∴△PEC是正三角形 ∴CE=CP，∠ACB=∠ECP=60° ∴∠1=∠2 又∵∠3=∠4，BC=AC ∴△ACE≌△BCP (ASA) ∴AE=BP 即：BP+CP=AP. ①线段 AD 的长度即为△ABC的费马距离． ②过AB和AC分别向外作等边三角形，连接CD，BE， 交点即为P0． ①ⅰ.根据作图可知费马点有且只有一个，打√； ⅱ.由图1和图2，可知任意三角形的费马点不一定都在三角形的内部，打×； ②解：将△ABP沿点B逆时针旋转60°到△A1BP1， 过A1作A1H⊥BC，交CB的延长线于H，连接P1P， 易得：A1B=AB，PB=P1B，PA=P1 A1，∠P1BP=∠A1BA=60° ∵PB=P1B ∠P1BP=60° ∴△P1PB是正三角形 ∴PP1=PB ∵PA+PB+PC的最小值为 6+2 ∴P1A1+PP1+PC的最小值为 6+2 ∴A1，P1，P，C在同一直线上，即A1C= 6+2 设正方形的边长为2x ∵∠A1BA=60° ∠CBA=90° ∴∠1=30° 在Rt△A1HB中，A1B=AB=2x，∠1=30° 得：A1H=x，BH= 3x 在Rt△A1HC中，由勾股定理得： x2+(2+3)2x2=(6+2)2 ， 解得：x1=1，x2=−1（舍去） ∴正方形ABCD的边长为2．

查看本题答案和解析