题目

（本题16分） 已知数列中，，(n∈N*)，bn＝3an。 （1）试证数列是等比数列，并求数列{bn}的通项公式。 （2）在数列{bn}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由。 （3）①试证在数列{bn}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系。 ②在数列{bn}中，是否存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列？若存在，确定正整数r，s，t之间的关系；若不存在，说明理由。 答案：（1）证明: 由，得an＋1＝2n—an，                                                 ∴,       ∴数列是首项为,公比为的等比数列.      ……………2分    ∴ , 即， ∴                               …………………………………3分 （2）解：假设在数列{bn}中，存在连续三项bk－1，bk，bk＋1(k∈N*, k≥2)成等差数列，则bk－1＋bk＋1＝2bk，即， 即＝4                             …………………………………4分 ①若k为偶数，则＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得bk－1，bk，bk＋1成等差数列。                                         …………………………………5分 ②若k为奇数，则k≥3，∴≥4，而4＝4，所以，当且仅当k＝3时，bk－1，bk，bk＋1成等差数列。 综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列。       …………7分 （3）①证明：要使b1，br，bs成等差数列，只需b1＋bs＝2 br，即3＋＝2[],即，          ①                             （ⅰ）若s＝r＋1，在①式中，左端＝0，右端＝，要使①式成立，当且仅当s为偶数时成立。又s＞r＞1，且s，r为正整数，所以，当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b1，br，bs成等差数列。………9分 （ⅱ）若s≥r＋2时，在①式中，左端≥＝，由（2）可知，r≥3，∴r＋1≥4，∴≥16；右端≤0（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“＝”）， ∴当s≥r＋2时，b1，br，bs不成等差数列。                                  综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b1，br，bs成等差数列。  ……11分 ②假设存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列。 首先找到成等差数列的3项：由第（3）小题第①问，可知，b1，b2n－1，b2n(n∈N*，且n≥2)成等差数列，其公差d＝b2n－b2n－1＝＝， ……12分 ∴bt＝b2n＋d＝＋＝3－3。            又bt=，∴3－3＝， 即2t－3＝－3。   ②                            ……………………14分 ∵t＞2n＞2n－1，∴t≥2n＋1，∴②式的左端2t－3≥－3＝≥8，而②式的右端－3≤－2，∴②式不成立。 综上所述，不存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列。 …………………16分

查看本题答案和解析