题目

如图1，已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在 轴负半轴上，直线 与 轴、 轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为平行四边形，且AC=BC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP且∠APB=90°． （1） 求证：∠PAC=∠PBC； （2） 如图2，点E在线段BP上，点F在线段AP上，且AF=BE，∠AEF=45°，求 的值； （3） 在（2）的条件下，当PE=BE时，求点P的坐标． 答案： 解：∵当 x=0 时， y=6 ；当 y=0 时， x=6 ∴B（6，0）；C（0，6） ∴△BOC为等腰直角三角形… 又∵AC=BC △ACB为等腰直角三角形 又∵∠APB=90° 设AC与BP相交于点G 则在Rt△APG中，∠PAC+∠PGA=90° 同理，在Rt△ACB中，∠PBC+∠BGC=90° 而∠PGA=∠BGC ∴∠PAC=∠PBC 解：连接CE、CF 在△AFC和△BEC中 {AF=BE∠PAC=∠PBCAC=BC ∴△AFC≌△BEC（SAS） ∴CE=CF，∠ACF=∠BCE ∴∠FCE=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90° ∴△CEF为等腰直角三角形 ∴∠CEF=45°， CE2=(EF2)2=EF22 又∵∠AEF=45° ∴∠AEC=∠CEF+∠AEF=90° 在R t△AEC中 CE2+AE2=AC2 ∴ EF22+AE2=AC2 ∴ EF2+2AE2=2AC2=2×(62)2=144 解：设 AF=BE=PE=m ， PF=n 在Rt△PEF中， EF2=m2+n2 在Rt△PEA中， AE2=(m+n)2+m2 ∴由（2）得 EF2+2AE2=2AC2=2×(62)2=144 ∴ (m2+n2)+2((m+n)2+m2)=144 整理得 2(m+n)2+3m2+n2=144 ① 另在Rt△PBA中， PA2+PB2=AB2 即 (m+n)2+(2m)2=122 整理得 (m+n)2+4m2=144 ② 由①-②得： (m+n)2+n2−m2=0 2n(m+n)=0 ∵ m+n≠0 ∴ n=0 即点P、F重合时恰有PE=BE ∴在Rt△PAB中，AP：BP：AB= 1:2:5 又∵AB=12 ∴AP= 125=1255 过P作PQ⊥AB于点Q 则△PAQ∽△BAP ∴AQ：PQ：AP= 1:2:5 ∴ AQ=AP5=125 ， PQ=2AQ=245 OQ=6−AQ=6−125=185 ∴P（ −185 ， 245 ）

查看本题答案和解析