题目

如图，在 中， 平分 . （1） 若 为线段 上的一个点，过点 作 交线段 的延长线于点 ①若 ， ，则 ； ②猜想 与 、 之间的数量关系，并给出证明． （2） 若 在线段 的延长线上，过点 作 交直线 于点 ．请你做出示意图，直接写出 与 、 的数量关系． 答案： 【1】20∘【2】数量关系： ∠E=12(∠ACB−∠B) ；理由如下： 设 ∠B=x ， ∠ACB=y ， ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC ， ∵∠B+∠ACB+∠BAC=180° ， ∴∠CAB=180°−x−y ． ∴∠BAD=12(180°−x−y) ． ∴∠PDE=∠B+∠BAD=x+12(180°−x−y)=90°+12(x−y) ． ∵PE⊥AD ， ∴∠PDE+∠E=90° ， ∴∠E=90°−[90°+12(x−y)]=12(y−x)=12(∠ACB−∠B) ． 解： ∠PED=12(∠ACB−∠B) ，理由如下： 如图所示： 设 ∠B=n° ， ∠ACB=m° ， ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC ， ∵∠B+∠ACB+∠BAC=180° ， ∴∠CAB=(180−n−m)° ， ∴∠BAD=12(180−n−m)° ， ∴∠PDE=∠ADC=∠B+∠BAD=n°+12(180−n−m)°=90°+12n°−12m° ， ∵PE⊥AD ， ∴∠DPE=90° ， ∴∠PDE=90°−(90°+12n°−12m°)=12(m−n)°=12(∠ACB−∠B) ．

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