题目

数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若 ， ． 将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动．【初步探究】如图2，连接 ， 并延长，延长线相交于点交于点 ． 问题1和的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2　　如图3，连接 ， 点是的中点，连接 ， ． 求证 ． 【尝试应用】问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 答案：【初步探究】BE=DF；BE⊥DF；【深入探究】 如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵点O是BD的中点，∴OA=OB=OD，∵BE⊥DF，∴∠BGD=90°，∵点O是BD的中点，∴OG=OB=OD，∴OA=OD=OG；【尝试应用】 如图，∵∠BGD=90°，OB=OG=OD，∴G在以O为圆心，OD为半径的⊙O上，过F作FN⊥AD于N，当∠BAE=α=60°时，∴∠DAF=α=60°，∠AFN=30°，∵AF=AE=1，∴AN=12AF=12，FN=AF2−AN2=32，∴DN=2−12=32，DF=FN2+DN2=3，∴AF2+DF2=1+3=4=AD2，∴∠AFD=90°，∴∠ADF=30°，∴∠AOG=2∠ADF=60°，而∠EAF=∠EGF=90°，AE=AF=1，∴四边形AEGF是正方形，∴当旋转角α从0°变化到60°时，G在AG⌢上运动，∵AB=2，OA=OB，AO⊥BD，∴OA=2×22=2，∴点G经过路线的长度为60π×2180=2π3.

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