题目

如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE． （1） 求证：AB＝AC； （2） 当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小； （3） 当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长． 答案： 证明：∵直径BD， ∴∠ABE+∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB， ∴ 12 ∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝90° −12 ∠BAC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90° −12 ∠BAC， ∴∠ACB＝∠ACB， ∴AB＝AC； 解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE． 分情况： ①BE＝BC， 那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE， ∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝22.5°， ∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°． ②BC＝CE， 那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD， ∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE， ∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝18°， ∴∠BCE＝4∠ABE＝72°． ③BE＝CE，此时E，A重合，舍去， 综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°； 解：连接AO并延长，交BC于点F， 根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC， ∵直径BD， ∴∠BCD＝90°， ∴AF∥CD， ∴ AOCD=OEDE=AECE=46=23 ， ∴OE =25 OD，DE =35 OD，CD =32 OA， ∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE， ∴△ABE∽△DCE， ∴ AEDE=BECE ， ∴AE•CE＝DE•BE＝24， ∵OB＝OD＝OA， ∴ 35 OD• 75 OD＝24， ∴OD =10714= OA， ∴CD =15714 ，BD =20714 ， 在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2， ∴BC =52 ．

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