题目

已知双曲线与直线：（）有唯一的公共点 ， 直线与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，其中点 ， 在第一象限. （1） 探求参数 ， 满足的关系式； （2） 若为坐标原点，为双曲线的左焦点，证明：. 答案： 解：如图所示：联立方程{y=kx+mx2−y23=1，整理得(3−k2)x2−2kmx−(m2+3)=0（*）.由k≠±3，且P是双曲线与直线l的唯一公共点，可得Δ=(−2km)2+4(3−k2)(m2+3)=0，则k2−m2=3，即为参数k，m满足的关系式.结合图象，由点P在第一象限，可知k>3，且m<0. 证明：易知，双曲线的左焦点F(−2，0)，渐近线为y=±3x.联立方程{y=kx+my=3x，解得{x=m3−ky=3m3−k，即M(m3−k，3m3−k)；联立方程{y=kx+my=−3x，解得{x=−m3+ky=3m3+k，即N(−m3+k，3m3+k).结合k2−m2=3，（*）式可变形为m2x2+2kmx+k2=0，解得x=−km，可得P(−km，−3m).要证∠MFP=∠NFO，即证tan∠MFP=tan∠NFO，即证tan(∠MFO−∠PFO)=tan∠NFO，即证kFM−kFP1+kFMkFP=−kFN，即证kFM+kFN=kFP(1−kFMkFN)（**）.思路1：由kFM+kFN=kFP(1−kFMkFN)，得1kFM+1kFN=kFP(1kFMkFN−1).根据直线的斜率公式，kFM=3m23+m−2k，kFN=3m23−m+2k，kFP=3k−2m，则1kFM+1kFN=23+m−2k3m+23−m+2k3m=433m=4m，1kFMkFN−1=23+m−2k3m⋅23−m+2k3m−1=(23+m−2k)(23−m+2k)3m2−1=12−(m−2k)23m2=12−m2−4k2+4mk3m2−1=12−4m2−4k2+4mk3m2=−8m2+4mk3m2=4(k−2m)3m，可得kFP(1kFMkFN−1)=3k−2m⋅4(k−2m)3m=4m，因此，1kFM+1kFN=kFP(1kFMkFN−1).思路2：根据直线的斜率公式，kFM=3m23+m−2k，kFN=3m23−m+2k，kFP=3k−2m，则kFM+kFN=3m23+m−2k+3m23−m+2k=12m(23+m−2k)(23−m+2k)，kFMkFN=3m23+m−2k⋅3m23−m+2k=3m2(23+m−2k)(23−m+2k).要证（**）式，即证12m(23+m−2k)(23−m+2k)=3k−2m⋅(1−3m2(23+m−2k)(23−m+2k))，即证(23+m−2k)(23−m+2k)−3m2−4m(k−2m)=0，化简得k2−m2−3=0，由（*）式可知该式显然成立.

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