题目

设函数 ， ． （1） 若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； （2） 在（1）的条件下求的单调区间和极小值： （3） 若在上存在增区间，求的取值范围． 答案： 解：由题可得f'(x)=1x−kx2=x−kx2(x>0)，因为曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x=2垂直，所以f'(e)=e−ke2=0，解得k=e； 解：由（1）知f'(x)=x−ex2(x>0)，令f'(x)=0，解得x=e，由f'(x)<0，解得0<x<e，由f'(x)>0，解得x>e，所以f(x)的单调减区间为(0,e)，单调增区间为(e,+∞)，当x=e时，f(x)取得极小值f(e)=2； 解：由g(x)=f(x)−x=lnx+kx−x在(0,+∞)上存在增区间，即g'(x)=1x−kx2−1=−x2+x−kx2>0在(0,+∞)上有解，即k<−x2+x在(0,+∞)上有解，所以k<(−x2+x)max，令h(x)=−x2+x(x>0)，易知h(x)在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，则h(x)max=h(12)=−(12)2+12=14，所以k<14即k的取值范围为(−∞,14).

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