题目

已知函数f（x）=ax﹣lnx，F（x）=ex+ax，其中x＞0，a＜0． （1） 若f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求实数a的取值范围； （2） 若a∈（﹣∞，﹣ ]，且函数g（x）=xeax﹣1﹣2ax+f（x）的最小值为M，求M的最小值． 答案： 解：求导，f′（x）=a﹣ 1x = ax−1x ，F′（x）=ex+a，x＞0， a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，当﹣1⩽a＜0时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意当a＜﹣1时，由F′（x）＞0，得x＞ln（﹣a），由F′（x）＜0，得0＜x＜ln（﹣a），∴F（x）的单调减区间为（0，ln（﹣a）），单调增区间为（ln（﹣a），+∞）∵f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，∴ln（﹣a）⩾ln3，解得：a⩽﹣3，综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣3]； 解：g′（x）=eax﹣1+axeax﹣1﹣a﹣ 1x =（ax+1）（eax﹣1﹣ 1x ）， 由eax﹣1﹣ 1x =0，解得：a= 1−lnxx ，设p（x）= 1−lnxx ，则p′（x）= lnx−2x2 ，当x＞e2时，p′（x）＞0，当0＜x＜e2，p′（x）＜0，从而p（x）在（0，e2）上单调递减，在（e2，+∞）上单调递增，p（x）min=p（e2）=﹣ 1e2 ，当a≤﹣ 1e2 ，a≤ 1−lnxx ，即eax﹣1﹣ 1x ≤0，在（0，﹣ 1a ）上，ax+1＞0，g′（x）≤0，g（x）单调递增，在（﹣ 1a ，+∞）上，ax+1＜0，g′（x）≥0，g（x）单调递增，∴g（x）min=g（﹣ 1a ）=M，设t=﹣ 1a ，∈（0，e2]，M=h（t）= te2 ﹣lnt+1，（0＜t≤e2），h′（t）= 1e2 ﹣ 1t ≤0，h（x）在，∈（0，e2]上单调递减，∴h（t）≥h（e2）=0，∴M的最小值为0．

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