题目

动点 满足 . （1） 求 点的轨迹并给出标准方程； （2） 已知 ，直线 ： 交 点的轨迹于 ， 两点，设 且 ，求 的取值范围. 答案： 解：由动点 M(x,y) 满足 (x−22)2+y2+(x+22)2+y2=6 ， 可得动点 M 到点 (22 ， 0) ， (−22 ， 0) 的距离之和为常数，且 42<6 ， 故点 M 的轨迹为椭圆，且 2c=42 ， 2a=6 ， 则 a=3 ， c=22 ， 则 b2=a2−c2=9−8=1 ， 故椭圆的方程为 x29+y2=1 ． 解：设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 联立方程组 {y=kx−22kx29+y2=1 ，消 y 可得 (9k2+1)x2−362k2x+9(8k2−1)=0 ， 则△ =(−362k2)2−36(8k2−1)(9k2+1)=36(k2+1)>0 ， ∴x1=182k2−3k2+19k2+1 ， x2=182k2+3k2+19k2+1 ∵ AD→=λDB→ ， ∴(22−x1 ， −y1)=λ(x2−22 ， y2) ， ∴22−x1=λ(x2−22) ， ∴22−182k2−3k2+19k2+1=λ(182k2+3k2+19k2+1−22) ， 即 3k2+1+22=λ(3k2+1−22) 令 3k2+1=t ， ∴t+22=λ(t−22) ， ∴t=22(1+λ)λ−1=22(1+2λ−1) ， ∵t=22(1+2λ−1) 在 λ∈(1,2) 上为减函数， ∴t∈(62 ， +∞) ， ∴3k2+1>62 ， ∴k2>7 ， ∴k>7 或 k<−7 ， 故 k 的范围为 (−∞ ， −7)∪(7 ， +∞) ．

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