题目

如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且. （1） 证明：； （2） 求点到平面的距离. 答案： 证明如图，连接CM，因为AC=BC，M为AB中点，所以CM⊥AB．               因为C1C为直三棱柱ABC−A1B1C1 的侧棱，所以C1C⊥平面ABC．       因为AB⊂平面ABC，所以C1C⊥AB．                                 因为CM∩C1C=C,CM,C1C⊂平面CMN，所以AB⊥平面CMN．               因为MN⊂平面CMN，所以AB⊥MN． 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图.则A12， 0， 2，B10， 2， 2，M1， 1， 0，N0, 0, 1.            所以A1B1⃗=−2, 2, 0，B1M⃗=1, −1, −2，B1N⃗=0, −2, −1．设平面B1MN的一个法向量为n⃗=x, y, z，由B1M→⋅n→=0B1N→⋅n→=0可得，x-y-2z=0-2y-z=0，取z=2，可得x=3，y=−1，即可取n⃗=3, −1, 2．                 设点A1到平面B1MN的距离为h，则h=A1B1⃗⋅n⃗n⃗=89+1+4=4147．            所以点A1到平面B1MN的距离为4147．

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