题目

如图，边长为 正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上.在 轴上线段 （Q在A的右边），P从A出发，以每秒1个单位的速度向O运动，当点P到达点O时停止运动，运动时间为 .连接PB，过P作PB的垂线，过Q作 轴的垂线，两垂线相交于点D.连接BD交 轴于点E，连接PD交 轴于点F，连接PE. （1） 求∠PBD的度数. （2） 设△POE的周长为 ，探索 与 的函数关系式，并写出 的取值范围. （3） 令 ，当△PBE为等腰三角形时，求△EFD的面积. 答案： 解：∵∠APB+∠PBA=∠APB+∠DPQ=90°∴∠PBA=∠DPQ又∵∠BAP=∠PQD=90°,BA=PQ= ∴△BAP≌△PQD∴BP=PD又∵BP⊥PD∴∠PBD=45°   解：延长PA至M，使得AM=CE在△BAM与△BCE中∵{BA=BC∠BAM=∠BCEAM=CE  ∴△BAM≌△BCE∴∠MBA=∠EBC∵∠EBC+∠ABP=45°∴∠MBP=∠MBA+∠ABP=45°=∠EBP在△BPM与△BPE中∵{BA=BC∠BPM=∠BPEBP=BP  ∴△BPM≌△BPE∴EP=MP=MA+AP=CE+AP又∵l=EP+PO+EO=(CE+EO)+(AP+PO)=2AO  ∴ 解：EP=EB∵∠PBD=45°∴EP⊥EB ，E为BD中点，即E与C重合，P与O重合此时，S△EFD=8，‚PB=PE∵∠PBD=45°∴EP⊥PB (不存在)ƒBP=BE∵BA=BC∴△BAP≌△BCE   ∴CE=AP=t   ∴PE=2t又∵OE=OP= 4−t   ∴PE= 2(4−t)   ∴ 2(4−t) =2t  解得： t=42−4∵△BAP≌△PQD  ∴AP=QD ∴D (42−4,42−4)∵P (42−8,0)   ∴ lPD y= (2−1)x+122−16  ∴F (122−16,0)∴EF= 24−162此时， 16(52−7) S△EFD=16(52−7)综上所述： S△EFD=8 或 S△EFD=16(52−7)

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