题目

如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点. （1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：解：把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得： {−k+b=−12k+b=−4 ，解得： {k=−1b=−2 ，所以a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，解：过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C. ∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， ∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2. 过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E.则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4）， ∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4. ∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC ＝ 12AC⋅PD+12BC⋅PE−12AC⋅BC ＝ 12×3(m+1)+12×3(m2+4)−12×3×3 ＝ −32m2+32m+3 . ∵ −32 ＜0， m=−−322×(−32)=12 ，﹣1＜m＜2， ∴当 m=12 时，S△APB 的值最大. ∴当 m=12 时， −m2=−14 ，S△APB＝ −32m2+32m+3=338 ，即△PAB面积的最大值为 338 ，此时点P的坐标为（ 12 ， −14 ）解：存在三组符合条件的点，当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时， ∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），可得坐标如下： ①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）； ②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）； ③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）. 故：P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1）， Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）.

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