题目

已知函数 满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：① ，②周期 ，③过点 ，④ ． （1） 写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求 的解析式； （2） 求函数 的图象与直线 相邻两个交点间的最短距离． 答案： 解：所满足的三个条件是：②③④， ∵f(x) 的周期 T=π ， ∴ω=2 ， ∴f(x)=sin(2x+φ)+m ， 又过点 (0,0) ，且 f(π3)=32 ， ∴sinφ+m=0 ， sin(2π3+φ)+m=32 ， ∴sin(2π3+φ)−sinφ=32 ， ∴32cosφ−12sinφ−sinφ=32 ， ∴3(12cosφ−32sinφ)=32 ， ∴sin(π6−φ)=32 ，又 −π2<φ<0 ， ∴φ=−π6 ， 又 sinφ+m=0 ， ∴−12+m=0 ， ∴m=12 ， ∴f(x)=sin(2x−π6)+12 ． 解：由 f(x)=sin(2x−π6)+12=1 ，得 sin(2x−π6)=12 ， ∴2x−π6=2kπ+π6 ，或 2x−π6=2kπ+5π6 ， k∈Z ， ∴x=kπ+π6 ，或 x=kπ+π2 ， k∈Z ， 所以函数 f(x) 的图象与直线 y=1 相邻两个交点间的最短距离为 π2−π6=π3 ．

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