题目

如图，四棱锥 的底面 是平行四边形， 底面 ， ， （1） 证明：AC⊥CD； （2） 若E是棱PC的中点，求直线AD与平面PCD所成的角 答案： 证明：因为 PA⊥ 底面 ABCD ， CD⊂ 底面 ABCD ，所以 PA⊥CD ， 因为 ∠PCD=90° ，所以 PC⊥CD ， PA∩PC=P ， PA，PC⊂ 平面 PAC ， 所以 CD⊥ 平面 PAC ，因为 AC⊂ 平面 PAC ， 所以 CD⊥AC ． 解：由（1） CD⊥ 平面 PAC ， AC，AE⊂ 平面 PAC ，所以 CD⊥AE ， CD⊥AC ， 因为 PA=AC=2 ， E 为 PC 的中点，所以 AE⊥PC ，因为 PC∩CD=C ， PC，CD⊂ 平面 PCD ，所以 AE⊥ 平面 PCD ，所以 ∠EDA 即为直线 AD 与平面 PCD 所成的角，因为 PA=AB=AC=2 ，所以 AD=AC2+CD2=22 ， PC=AP2+AC2=22 ，所以 AE=12PC=2 ，所以 sin∠EDA=AEAD=222=12 ，因为 ∠EDA∈(0，π2) ，所以 ∠EDA=π6 ，即直线 AD 与平面 PCD 所成的角为 π6 ；

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