题目

如图，椭圆 （ ）的离心率 ， ， 分别是椭圆的左焦点和右顶点， 是椭圆上任意一点，若 的最大值是12，求椭圆的方程． 答案：解：由题易知 A(a,0) ，设 F(−c,0) ， ∵e=ca=13 ， ∴a=3c ， 设 P(x0,y0) ，则 −3c≤x0≤3c ， ∵PF→=(−c−x0,−y0) ， PA→=(a−x0,−y0) ， ∴ PF→⋅PA→=(−c−x0,−y0)⋅(a−x0,−y0) =−ac+cx0−ax0+x02+y02 =−ac+cx0−ax0+x02+b2−b2a2x02 =c2a2x02−(a−c)x0+b2−ac =19x02−(a−c)x0+a2−c2−ac =19x02−2cx0+5c2 =19(x0−9c)2−4c2 ， ∴当 x0=−3c 时， PF→⋅PA→ 有最大值，且最大值为 12c2 ， ∴ 12c2=12 ，∴ c2=1 ， ∴ a2=9 ， b2=a2−c2=8 ， ∴椭圆的方程为 x29+y28=1

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