题目

对于数列，， …，，定义变换，将数列变换成数列，， …，，，记，，．对于数列，， …，与，， …，，定义．若数列，， …，满足，则称数列为数列．（1）若，写出，并求；（2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：（3）若数列满足，求数列A的个数．答案：解：由A：−1，−1，1，−1，1，1，可得T(A)：−1，1，−1，1，1，−1，T2(A)：1，−1，1，1，−1，−1，∴A⋅T2(A)=−1+1+1−1−1−1=−2；解：∵A⋅T(A)=a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+ana1，由数列A为ℜn数列，所以ai∈{−1，1}(i=1，2，⋅⋅⋅，n)，对于数列A：a1，a2，…，an中相邻的两项ai，ai+1(i=1，2，⋯，n)，令an+1=a1，若ai=ai+1，则aiai+1=1，若ai≠ai+1，则aiai+1=−1，记aiai+1(i=1，2，⋯，n)中有t个-1，有n−t个1，则A⋅T(A)=n−2t，因为n−2t与n的奇偶性相同，而n−3与n的奇偶性不同，故不存在适合题意的数列A；解：首先证明A⋅T(A)=Tk(A)⋅Tk+1(A)(k=1，2，⋅⋅⋅，n−2)，对于数列A：a1，a2，…，an，有T(A)：a2，a3，…，an，a1，Tk(A)：ak+1，ak+2，…，an−1，an，a1，a2，…，ak−1，ak，Tk+1(A)：ak+2，ak+3，…，an，a1，a2，a3，…，ak，ak+1，∵A⋅T(A)=a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+ana1，Tk(A)⋅Tk+1(A)=ak+1ak+2+ak+2ak+3+⋯+ana1+a1a2+a2a3+⋅⋅⋅+akak+1，∴A⋅T(A)=Tk(A)⋅Tk+1(A)(k=1，2，⋅⋅⋅，n−2)，故A⋅T(A)=n−4，其次，由数列A为ℜn数列可知，A⋅T(A)=n−2t=n−4，解得t=2，这说明数列A中任意相邻两项不同的情况有2次，若数列A中−1的个数为s(s=1，2，⋯，n−1)个，此时数列A有n个，所以数列A的个数为n(n−1)个.

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