题目

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C． （1） 求点A和点C的坐标； （2） 当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式； （3） 当m=35时，请直接写出t的值； （4） 直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标． 答案： 解：如图1，过点A作AD⊥OB，垂足为D，过点C作CE⊥OB，垂足为E，∵OA=AB，∴OD=DB=12OB，∵∠OAB=90°，∴AD=12OB，∵点B的坐标为：（60，0），∴OB=60，∴OD=12OB=12×60=30，∴点A的坐标为：（30，30），∵直线l平行于y轴且当t=40时，直线l恰好过点C，∴OE=40，在Rt△OCE中，OC=50，由勾股定理得：CE=OC2-OE2=502-402=30，∴点C的坐标为：（40，﹣30）； 解：如图2，∵∠OAB=90°，OA=AB，∴∠AOB=45°，∵直线l平行于y轴，∴∠OPQ=90°，∴∠OQP=45°，∴OP=QP，∵点P的横坐标为t，∴OP=QP=t，在Rt△OCE中，OE=40，CE=30，∴tan∠EOC=34，∴tan∠POR=PROP=34，∴PR=OP•tan∠POR=34t，∴QR=QP+PR=t+34t=74t，∴当0＜t＜30时，m关于t的函数关系式为：m=74t； 解：由（2）得：当0＜t＜30时，m=35=74t，解得：t=20；如图3，当30≤t≤40时，m=35显然不可能；当40＜t＜60时，∵OP=t，则BP=QP=60﹣t，∵PR∥CE，∴△BPR∽△BEC，∴BPEB=PREC，∴60-t20=PR30，解得：PR=90﹣32t，则m=60﹣t+90﹣32t=35，解得：t=46，综上所述：t的值为20或46； 解：如图4，当∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周长为60时，此时t=40，直线l恰好经过点C，则∠MBP=∠COP，故此时△BMP∽△OCP，则CPOP=MPPB，即3040=x20，解得：x=15，故M1（40，15），同理可得：M2（40，﹣15），综上所述：符合题意的点的坐标为：M1（40，15），M2（40，﹣15）．

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