题目

如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,设、分别为、的中点． (Ⅰ) 求证： //平面； (Ⅱ) 求证：面平面； (Ⅲ) 求二面角的正切值． 答案：.解：法一(Ⅰ)证明：为平行四边形 连结，为中点， 为中点∴在中//　                  且平面，平面   ∴  (Ⅱ)：因为面面　平面面　 为正方形，，平面 　所以平面　∴                   又，所以是等腰直角三角形， 且　　　即                       　，且、面　　 面             又面　　面面 (Ⅲ)设的中点为,连结,, 则由(Ⅱ)知面,　 ，面，， 是二面角的平面角                         中，　 　故所求二面角的正切值为 法二：如图,取的中点, 连结,. ∵,  ∴. ∵侧面底面, ,  ∴, 而分别为的中点,∴, 又是正方形,故. ∵,∴,. 以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系, 则有,,,,,. ∵为的中点, ∴                     （Ⅰ）易知平面的法向量为而, 且,   ∴ //平面 (Ⅱ)∵,  ∴, ∴,从而,又,, ∴,而,  ∴平面平面．                             (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量为. 设平面的法向量为.∵, ∴由可得,令,则, 故∴, 即二面角的余弦值为,                      所以二面角的正切值为                    

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