题目

设函数 ，其中 为常数且 .新定义：若 满足 ， 但 ， 则称 为 的次不动点. （1） 当 时，分别求 和 的值； （2） 求函数 在 上的次不动点. 答案： 当 a=12 时， f(x)={2x，0≤x≤122(1−x)，12<x≤1 ， ∴f(13)=2×13=23 ， f(45)=2×(1−45)=25 ， ∴ f(f(13))=f(23)=2×13=23 ， f(f(45))=f(25)=2×25=45 . f(f(x))={1a2x，0≤x≤a21a(1−a)(a−x)，a2<x≤a1(1−a)2(x−a)，a<x≤a2−a+11a(1−a)(1−x)，a2−a+1<x≤1 当 0≤x≤a2 时，由 f(f(x))=1a2x=x ，解得 x=0 ， 由于 f(0)=0 ，故 x=0 不是 f(x) 的次不动点， 当 a2<x≤a 时，由 f(f(x))=1a(1−a)(a−x)=x ， 解得 x=a−a2+a+1∈(a2，a] ， 因为 f(a−a2+a+1)=1a⋅a−a2+a+1=1−a2+a+1≠a−a2+a+1 ， 所以 x=a−a2+a+1 是 f(x) 的次不动点， 当 a<x≤a2−a+1 时，由 1(1−a)2(x−a)=x ，解得 x=12−a ， f(12−a)=11−a(1−12−a)=12−a ，故 x=12−a 不是 f(x) 的次不动点， 当 a2−a+1<x≤1 时，由 1a(1−a)(1−x)=x ， 解得 x=1−a2+a+1 ， f(1−a2+a+1)=11−a(1−1−a2+a+1)=a−a2+a+1≠1−a2+a+1 ， 即 x=1−a2+a+1 是 f(x) 的次不动点， 所以函数 f(x) 在 x∈[0，1] 上的次不动点为 x1=a−a2+a+1 ； x2=1−a2+a+1

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