题目

已知函数f（x）=sin（x∈R）．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程（Ⅱ）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式（Ⅲ）设函数h（x）=2|x﹣k| ， H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式k﹣5g（t）≤0有解．若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围参考公式：sinα﹣cosα=sin（α﹣） 答案：解：（Ⅰ）对于函数f（x）=sinπx2（x∈R），它的最小正周期为2ππ2=4，由πx2=kπ+π2，求得x=2k+1，k∈Z，可得f（x）的对称轴方程为x=2k+1，k∈Z．（Ⅱ）当t∈[﹣2，0]时，①若t∈[﹣2，﹣32），在区间[t，t+1]上，M（t）=f（t）=sinπt2，m（t）=f（﹣1）=﹣1，g（t）=M（t）﹣m（t）=1+sinπt2．②若t∈[﹣32，﹣1），在区间[t，t+1]上，M（t）=f（t+1）=sinπ2（t+1）=cosπ2t，m（t）=f（﹣1）=﹣1，g（t）=M（t）﹣m（t）=1+cosπt2．③若t∈[﹣1，0]，在区间[t，t+1]上，M（t）=f（t+1）=sinπ2（t+1）=cosπ2t，m（t）=f（t）=sinπ2t，g（t）=M（t）﹣m（t）=cosπ2t﹣sinπt2．综上可得，g（t）=1+sinπ2t,t∈[-2.-32)1+cosπ2t,t∈[-32,-1)cosπt2-sinπt2,t∈[-1,0]．（Ⅲ）函数f（x）=sinπx2的最小正周期为4，∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t）．函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，即函数H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集．∵h（x）=|2|x﹣k|=2x-k,x≥k2k-x,x<k，①当k≤4时，h（x）在（﹣∞，k）上单调递减，在[k，4]上单调递增．故h（x）的最小值为h（k）=1；∵H（x）在[4，+∞）上单调递增，故H（x）的最小值为H（4）=8﹣2k．由8﹣2k≥1，求得k≤72．②当4＜k≤5时，h（x）在（﹣∞，4]上单调递减，h（x）的最小值为h（4）=2k﹣4，H（x）在[k，4]上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，故H（x）的最小值为H（k）=2k﹣8，由4<k≤52k-8≥2k-4，求得k=5，综上可得，k的范围为（﹣∞，72]∪{5}．

查看本题答案和解析