题目

如图， 中， ， ， ，若动点P从点C开始，以每秒2个单位的速度按 的路径运动一周．设出发的时间为t秒． （1） 若 秒时，求 的周长． （2） 若 是直角三角形，请直接写出时间t的取值范围． （3） 是否存在某一时刻t ， 使得 为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：由题意易得：CP=2t， ∵ t=2 ， ∴CP=4， ∵AC=8，BC=6， ∴AP=4，在Rt△BCP中， BP=BC2+CP2=52=213 ， ∵AB=10， ∴△APB的周长为：AP+AB+BP= 14+213 ； 解：当∠BCP=90°时，由题意可得点P在AC上， ∴当点P与A重合时， t=82=4s ， ∴t的取值范围为 0<t≤4 ； 当∠CPB=90°时，如图所示： ∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10， ∴ CP⋅AB=BC⋅AC ， ∴ CP=245 ， 在Rt△APC中， AP=AC2−PC2=325 ， ∴点P的运动路程为AC+AP= 725 ， ∴ t=725÷2=365 ， 综上所述：当△BPC为直角三角形时， 0<t≤4 或 t=365 ； 解：存在，理由如下： 由 △BCP 为等腰三角形，可分： ①当CP=CB时，如图所示： ∵BC=6， ∴CP=6， ∴2t=6，解得：t=3s； ②当CB=BP时，如图所示： ∵BC=6， ∴BP=6， ∵AB=10， ∴AP=4， ∴点P的运动路程为AC+AP=12， ∴2t=12， ∴t=6s； ③当CP=PB时，如图所示： ∴∠PCB=∠B， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°，∠PCB+∠ACP=90°， ∴∠A=∠ACP， ∴AP=PC， ∴AP=PB， ∵AB=10， ∴AP=5， ∴点P的运动路程为AC+AP=13， ∴2t=13， ∴ t=132 s； 综上所述：当t=3s或6s或 132 s时，使得△PCB为等腰三角形．

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