题目

已知等差数列中， ， 公差 ， 其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好构成一个等比数列． （1） 求d的值． （2） 令 ， 数列的前n项和为 ， 若对恒成立，求取值范围． 答案： 解：等差数列{an}的前四项为2，2+d，2+2d，2+3d，若去掉第一项，则有(2+2d)2=(2+d)(2+3d)，解得d=0，不符合题意，若去掉第二项，则有(2+2d)2=2(2+3d)，解得d=0，或d=−12，不符合题意，若去掉第三项，则有(2+d)2=2(2+3d)，解得d=0（舍去），或d=2，若去掉第四项，则有(2+d)2=2(2+2d)，解得d=0，不符合题意，所以d=2. 解：由（1）知an=2+2(n−1)=2n，bn=12n(2n+2)=14(1n−1n+1)，于是得Sn=14[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)，显然数列{Sn}是递增数列，恒有Sn<14，因Sn<λ2−λ−12对∀n∈N+恒成立，于是有λ2−λ−12≥14，解得λ≤−12或λ≥32，所以λ取值范围是λ≤−12或λ≥32．

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