题目

如图（1）如图，在正方形ABCD中，的顶点E ， F分别在BC ， CD边上，高AG与正方形的边长相等，求的度数．（2）如图，在中，，，点M ， N是BD边上的任意两点，且，将绕点A逆时针旋转至位置，连接NH ，试判断MN ， ND ， DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图中，连接BD分别交AE ， AF于点M ， N ，若，，，求AG ， MN的长．答案：解：在 Rt△ABE 和 Rt△AGE 中， AB=AG ， AE=AE ， ∴Rt△ABE ≌ Rt△AGE(HL) ． ∴∠BAE=∠GAE ．同理， ∠GAF=∠DAF ． ∴∠EAF=12∠BAD=45∘ 解： MN2=ND2+DH2 ． ∵∠BAM=∠DAH ， ∠BAM+∠DAN=45∘ ， ∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45∘ ． ∴∠HAN=∠MAN ．又 ∵AM=AH ， AN=AN ， ∴△AMN ≌ △AHN ． ∴MN=HN ． ∵∠BAD=90∘ ， AB=AD ， ∴∠ABD=∠ADB=45∘ ． ∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90∘ ． ∴NH2=ND2+DH2 ． ∴MN2=ND2+DH2 ．解：由 (1) 知， BE=EG ， DF=FG ．设 AG=x ，则 CE=x−4 ， CF=x−6 ．在 Rt△CEF 中， ∵CE2+CF2=EF2 ， ∴(x-4)2+(x-6)2=102 解这个方程，得 x1=12 ， x2=−2( 舍去负根 ) ．即 AG=12 ．在 Rt△ABD 中， ∴BD=AB2+AD2=2AG2=122 ．在 (2) 中， MN2=ND2+DH2 ， BM=DH ， ∴MN2=ND2+BM2 ．设 MN=a ，则 a2= ( 122−32−a )2+( 32 )2．即 a2= ( 92−a )2+( 32 )2， ∴a=52. 即 MN=52 ．

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