题目

已知二次函数 （ 为常数）． （1） 当 时，求二次函数的最值； （2） 当抛物线的顶点恰好落在 轴上时，求抛物线的顶点坐标； （3） 当 时，与其对应的函数值 的最大值为2，求二次函数的解析式． 答案： 当 m=4 时，二次函数的解析式为 ， ∴当x=2时，二次函数取得最大值，最大值为 ． 当抛物线的顶点恰好落在 x 轴上， 那么 Δ=m2−4×(−1)×(−m−3)=0 ， 即 ， 解得 ． 当m=6时，二次函数的解析式为 ， 此时抛物线的顶点坐标为 ． 当m= 时，二次函数的解析式为 ， 此时抛物线的顶点坐标为 ． ∴抛物线的顶点坐标为 或 ． 二次函数图象的对称轴为直线 x=m2 ， ①当 m2<−1 时，即 m<−2 时， 在自变量 x 的值满足 的情况下， y 随 x 的增大而减小， ∴当x= 时，y= 为最大值， ∴ ，解得 ，此时二次函数的解析式为y= ． ②当 −1≤m2≤5 时，即 −2≤m≤10 时， 当 x=m2 时，二次函数的最大值为 =2， ∴ ，配方得， ，解得 ∵ −2≤m≤10 ，∴ 应舍去，取 ， 此时二次函数的解析式为 ． ③当 m2>5 时，即m>10时， 在自变量 x 的值满足 的情况下， y 随 x 的增大而增大， ∴当x=5时，y= 取得最大值， ∴ ，解得 ， ∵m>10，∴ 舍去． 综上所述：此时二次函数的解析式为y= 或 ．

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