题目

设椭圆 的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为 ． （1） 求椭圆的方程； （2） 已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标． 答案： 解：依题意知 A(a,0) , B(0,−b) , ∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点， ∴ a2=32,−b2=−12 ，即 a=3,b=1 ， ∴椭圆的方程为 x23+y2=1 . 解：由（1）知 B(0,−1) ，依题意知直线BN的斜率存在且小于0， 设直线BN的方程为 y=kx−1(k<0) ， 则直线BM的方程为： y=−1kx−1 ， 由 {x2+3y2=3,y=kx−1.  消去y得 (1+3k2)x2−6kx=0 ， 解得： xN=6k1+3k2 ， yN=kxN−1 , ∴ |BN|=xN2+(yN+1)2   =xN2+k2xN2=1+k2|xN| ∴ |BN|=1+k2|xN−xB|   =1+k2⋅6|k|1+3k2 , 在 y=−1kx−1 中，令 y=0 得 x=−k ，即 M(−k,0) ∴ |BM|=1+k2 ， 在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴ |BN|=3|BM| , 即 1+k2⋅6|k|1+3k2=3⋅1+k2 ，整理得 3k2−23|k|+1=0 ， 解得 |k|=33 ，∵ k<0 ，∴ k=−33 ， ∴点M的坐标为 (33,0) .

查看本题答案和解析